1. La beauté en tant que proportion et harmonie

Lycée "Ion Heliade Rădulescu"
Târgovişte, Romania

 

PROGRAMME DU COURS EN OPTION

"La Beauté en tant que proportion et harmonie"

cours déroulé dans le cadre du Programme Socrates
projet Comenius 1
"La Civilisation Européenne à travers l’Héritage Culturel, Architectural et Populaire"

XIIe classe
profil humain, section philologie-bilingue
1 heure/ semaine

Auteur: prof. Teodora Popa

Collaborateurs: Mihaela Dinescu (professeur de mathématiques),
Monica Beşleagă (professeur d’anglais),
Mihaela Niţu (professeur d’arts plastiques)  

2006

Argument

Le cours vise l’atteinte de l’objectif 3 du projet Comenius 1 "La Civilisation Européenne à travers l’Héritage Culturel, Architectural et Populaire" – enrichir l’offre curriculaire des établissements impliqués, et les techniques de classe, tout en mettant l’accent sur la qualité.
En même temps, l’expérience acquise pendant l’année scolaire par les cinq élèves impliqués dans les activités du projet scolaire „Arts et environnement" justifie notre désir de donner une chance pareille à leurs collègues aussi; ainsi ils deviendront plus confiants en leurs propres forces, plus responsables, plus ouverts, ils travailleront en équipes de façon plus efficace, en assumant différents rôles.   
Il ne faut pas ignorer le fait que le cours se propose d’influencer les mentalités de tous ceux qui sont impliqués (que ce soit le groupe support ou le groupe cible), de sorte que les mathématiques ne soient plus indentifiées à une „gymnastique du cerveau", sans aucun impact sur les zones sensibles, sensorielles de l’homme, mais regardée comme une science issue de la pratique, qui a sa place et son rôle bien établis dans la culture universelle.
Par les contenus proposés par le cours en question, les élèves pourront constater que les mathématiques éduquent le sens du beau, comme seul l’art peut le faire. C’est peut-être pourquoi tous les domaines de la culture se développent en interdépendence étroite avec les mathématiques. C’est une vérité généralement acceptée par la contemporaine, le fait que „Toute science est mathématiques ou susceptible d’être mathématisée." Quant à l’étude de cette discipline, elle se propose, d’autant plus par l’intermédiaire d’un cours en option transcurriculaire, de:

• Contribuer à la formation et au développement de la capacité des élèves de réfléchir sur le monde;
• Former des opinions fondées sur la mise en relation de différents domaines (mathématiques, sciences de la nature, arts);
• Former chez l’apprenenat une série de compétences, valeurs et attitudes, qui détermineront la construction de personnalités qui respectent et mettent en valeur l’héritage culturel national et européen.

Compétences générales 

1. Identification des relations entre les notions mathématiques étudiées
2. Interprétation des données de type quantitatifs, qualitatif, structurel ou contextuel, compris dans les énoncés mathématiques
3. Mise en valeur des éléments de patrimoine culturel  

Valeurs et attitudes

• Manifestation de la disponibilité pour la réception de l’information scientifique, culturelle et artistique;
• Manifestation de l’initiative et de la disponibilité d’aborder des tâches variées;
• Développement d’une pensée ouverte, créative et d’un esprit d’objectivité et d’impartialité;
• Développement du sens esthétique et critique, de la capacité d’apprécier la rigueur, l’ordre et l’harmonie dans la nature, le corps humain et l’art;
•  La mise en valeur de sa propre sensibilité esthétique et de celle ces autres, dans le contexte interculturel;  
• La cultivation de la créativité comme dimension de la personnalité dans son ensemble, applicable dans des domaines d’activité divers.

COMPETENCES SPECIFIQUES ET CONTENUS DE L’APPRENTISSAGE

1. Identification des relations entre les notions de mathématiques étudiées
2. Interprétation des données de type quantitatif, qualitatif, structurel ou contextuels, compris dans les énoncés mathématiques
3. Mise en valeur des éléments de patrimoine culturel

Compétences spécifiques	Contenus
1.1. Reconnaissance et classification de notions mathématiques élémentaires 1.2. Caractérisation de différents points de vue de certaines figures géométriques	Notions préliminaires (révision) definiţia matematică a proporţiei, a mediei, a progresiilor aritmetice, geometrice; clase de numere; noţiuni elementare de geometrie plană şi în spaţiu (poligoane şi poliedre regulate).
2.1. Réalisation de transferts entre des domaines connexes des mathématiques et des sciences de la nature ou des sciences socio-humaines (philisophie) et les arts (esthétiques) 2.2. Application des connaissances du domaine des mathématiques dans l’interprétation et l’explication de certains phénomènes du monde viviant	Le symbolisme géométrique; Les traits des objets concrets (forme, proportion, ordre, harmonie); Les lois des proportions: Dans le système solaire (la découverte de Kepler, la loi de Bode) ; Dans la nature (la suite de lui Fibonacci, le nombre d’or) ; exemples : poussée des plantes, la coquille de l’escargot, le corps humain, le développement des organismes vivants etc.
3.1 Formation de ses propres attitudes esthétiques à l’égard du phénomène culturel-artistique   3.2 Expression dans l’espace public, à l’aide des moyens artistiques, de sa propre attitude à l’égard des valeurs culturelles	Le beau – histoire de la notion; Le beau; variantes du beau; La proportion le long de l’histoire; La recherche de la perfection; La mise en proportion : - dans l’architecture (l’Antiquité, le Moyen Age, la  Renaissance, l’Epoque moderne et contemporaine ); -  dans les beaux-arts (le corp humain, la composition dans la peinture, la sculpture).

Suggestions méthodologiques

• Manipulation des critères: esthétique (beau, laid, sublime, grotesque), éthique (valeur sociale, morale etc), éducatif (contribution à l’élargissement de l’horizon de connaissance, à la formation d’une personnalité complexe etc), pratique (la présence des mathématiques et du phénomène artistique dans les aspects concrets de la vie, dans les événements qui marquent les moments essentiels de la vie de l’homme) etc., dans l’approche d’un certain phénomène culturel-artistique;  
• La création de situations d’apprentissage qui favorisent les interactions à l’intérieur du groupe et l’expresseion du trait individuel de la personnalité des élèves, les contributions personnelles, ce qui va orienter le processus d’évaluation de ceux-ci; l’assambage et l’alternance systématique des activités fondées sur l’effort individuel de l’élève, avec les activités qui réclament l’effort collectif;
• La coordination des élèves à travers des tâches clairement précisées, dans le processus d’investigation des ressources culturelles locales, de sorte qu’ils deviennent capables de les intégrer dans la sphère des valeurs artistiques nationales et universelles;
• Mise de l’accent sur le caractère formatif des méthodes d’apprentissage utilisées, afin de cultiver le potentiel individuel, de développer des capacités différentes (manipulation, assimilation, application, autoévaluation)
• L’apprentissage de certaines méthodes d’information et de documentation indépendente, qui favorise l’ouverture vers l’autoinstruction, vers l’apprentissage continuel.

Evaluation

• Observarea sistematică;
• Interévaluation essais thématiques;
• Projet: "Histoire du nombre d’or"
• Analyse des photos des expositions photo:

„ La beauté en tant que proportion et harmonie dans la nature",
„La beauté en tant que proportion et harmonie dans le corps humain",
„La beauté en tant que proportion et harmonie dans l’art".

Bibliografie

 Achiţei, G. – Le beau au-delà de l’art, Editions Meridiane, 1988
Aivanhov, O. M. – Le langage des figures géométriques, Ed. Prosveta, 1989
Câmpan, F. –  Histoires de nombres merveilleux, Ed. Albatros, 1981
Eco, U. – Histoire de la beauté, Encyclopédie RAO, 2005
Filimon, D. V. şi Postolica, V. – Incursion dans l’acuponcture, Ed. Polirom, 2000
Radian, H. R. – Le Livre de proportions, Ed. Meridiane, 1981
Tatarkiewicz, W. - Istoria celor şase noţiuni, Editura Meridiane, 1981
***               Istoria artei, Enciclopedia RAO, 1998
***           Programele şcolare ariile curriculare: Matematică şi ştiinţe ale naturii,
Educaţie artistică, Ministerul Educaţiei şi Cercetării, Consiliul Naţional
pentru Curriculum, 2001-2006

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Lycée "I.H.Rădulescu" Târgovişte                                                      Classe: XIIe A (philologie – bilingue)
Professeur Popa Teodora                                                                    Année şcolaire 2006-2007

 

PLANIFICATION  ANNUELLE
Cours en option "La beauté en tant que proportion et harmonie "
1 heure / semaine

Compétences spécifiques	Contenus	No. heures	Semaine	Observations
1.1. Reconnaissance et classification de notions mathématiques élémentaires	Présentation du programme Définition mathématique de la proportion; connexions. Sur les moyennes, les progressions Numéros cardinaux Numéros rationnels Numéros irrationnels Interévaluation : essai "Les numéros dans ma vie"	1   1 1 1 2	S1   S2 S3 S4 S5 ;S6
1.2. Caractérisation de différents points de vue de certaines figures géométriques	Polygones réguliers Polyèdres réguliers Interévaluation: essai "Harmonie des formes géométriques"	1 1 2	S7 S8 S9 ;S10
2.1. . Réalisation de transferts entre des domaines connexes des mathématiques et des sciences de la nature ou des sciences socio-humaines (philisophie) et les arts (esthétiques)         2.2. Application des connaissances du domaine des mathématiques dans l’interprétation et l’explication de certains phénomènes du monde viviant	Interévaluation: essai "Le Symbolisme géométrique" Les caractéristiques des objets concrets (forme, proportion, ordre, harmonie) Les lois des proportions dans le système solaire – la découverte de Kepler Les lois des proportions dans le système solaire – la loi de Bode Les lois des proportions dans la nuature – la suite de Fibonacci=la loi des croissances organiques La section d’or Ateliers de travail: préparation du projet « Histoire du nombre d’or » Présentation du projet  « Histoire du nombre d’or »	2 1   1 1   3   2 2   1	S11 ;S12 S13   S14 S15   S16 ;S17 ;S18   S19 ;S20 S21;S22   S23
3.1. Formation de ses propres attitudes esthétiques à l’égard du phénomène culturel-artistique   3.2. Expression dans l’espace public, à l’aide des moyens artistiques, de sa propre attitude à l’égard des valeurs culturelles	Le beau – histoire de la notion; variants du beau La proportion le long de l’histoire. La recherche de la perfection La mise en proportion dans l’architecture  La mise en proportion dans les beaux arts – le corps humain La mise en proportion dans la peinture La mise en proportion dans la sculpture Ateliers de travails – préparation des expositions photo Analyse des expositions photo:   „La beauté en tant que proportion et harmonie dans l’art" „L’Harmonie de l’architecture populaire roumaine" Evaluation du cours	1 1   2 2   1 1 2 1     1	S24 S25   S26;S27 S28 ;S29   S30 S31 S32;S33 S34     S35

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La suite de Fibonacci - la loi des croissances organiques

Lycée: „Ion Heliade Rădulescu" Târgovişte
Discipline: mathématiques
Cours en option:"La beauté en tant que proportion et harmonie"

PROJECTION DE L’ACTIVITE DIDACTIQUE
et utilisation de TIC

Classe	Unité	Type d’activité didactique	Durée
XII A philologie bilingue (anglais)	Lois de la proportion dans la nature	"Suite de Fibonacci – loi de la croissance organique"	50 minutes

Compétences visées	Objectifs opérationnels
Compétences générales 2. Interprétation des données de type quantitatif, qualitatif, structural contenues dans des énoncés mathématiques Compétences spécifiques 2.1. Réalisation des transfères entre des domaines conexes des mathématiques, des TIC et des sciences naturelles. 2.2. Mise en pratique des connaissances mathématiques dans l’interprétation et l’explication de certains phénomènes du monde vivant.	1. Mise en pratique de la formule de récurrence pour calculer les termes de la suite de Fibonacci. 2. Vérification des propriétés de cette suite pour un nombre fini de termes 3. Identification des  nombres de la suite de Fibonacci dans certains cas du règne végétal. 4. Utilisation de  Microsoft Excell şi Internet Explorer dans le but de valoriser les informations visant la présence de la suite de Fibonacci 5. Manifestation de la disponibilité d’aborder des tâches diverses.
Contenus	Ressources
Suite de Fibonnacci Quelques propriétés de celle-ci: somme des premiers termes n; somme ou produit des deux termes consécutifs. Suite de Fibonnacci dans le règne végétal.	humaines: 15 paires d’élèves, devant les ordinateurs dans le laboratoire d’informatique; informationnelles: fiches de travail, applications Microsoft Excel; techniques: 15 ordinateurs en réseau et connectés à l’Internet

Formes d’organisation	Méthodes didactiques
frontale par groupe en binôme	problématisation conversation euristique applications

Déroulement de l’activité

1. Réactualiser certaines connaissances antérieurement acquises Travail par groupe de 2 pour résoudre la première tâche de la fiche 3; temps de travail: 5 minutes. Les élèves peuvent utiliser n’importe quelle formule de calcule. 2. Créer une situation -problème. Diriger l’apprentissage. Trouver les 10 termes suivants de la suite de Fibonacci; temps de travail: 5 minutes. Les élèves utiliseront une application Microsoft Excel pour compléter horizontalement la suite; ils tenterons d’y trouver une formule de calcule applicable à une cellule et qui, étendue aux cellules suivantes, permet de compléter automatiquement la suite („les termes de la suite"du doc. Exel) Les élèves auront la possibilité de réaliser l’efficacité de l’utilisation de l’application pour déterminer un très grand nombre de termes de la suite. Travail par groupe; chaque groupe bénéficiera  d’un utilisateur de l’application. Vérification des propriétés 1 et 2 de la suite sur des cas particuliers de n, en utilisant l’application Microsoft Excel; les propriétés seront listées sur la fiche de travail. Travail en groupe; temps de travail:10 min. Analyse de deux exemples de la suite de Fibonacci présente dans le règne végétal: ramification et feuillage des plantes, respectivement le disque du tournesol. Les élèves reviendront au travail en pair, en suivant les pas établis dans la fiche de travail. Temps de travail: 20 min. Les élèves profiteront des informations offertes par la fiche, puis ils ouvriront le site indiqué sur la fiche pour découvrir plusieurs exemples concernant la présence de cette suite dans la nature (ex: la fleur du tournesol, la pomme du pin) 3. Connexion inverse/ Vérification et analyse des résultats Type de travail: individuel; les élèves seront stimulés à nommer les exemples les plus intéressants découverts à l’occasion de leur navigation Internet; ils vont argumenter leur choix. Le thème de l’étude individuelle est précisée sur la fiche de travail et a pour but la manifestation de l’initiative et de la disponibilité des élèves d’aborder des tâches variées, la stimulation de la créativité et la formation des habitudes à utiliser l’Internet d’une façon efficiente.

E v a l u a t i o n Les interventions les plus pertinentes seront appréciées et même notées. Il est à mentionner que les modalités d’évaluation dans le cadre de ce cours ont été négociées  au début de l’année scolaire; pour cette unité la méthode d’évaluation est l’observation systématique.

Habitudes techniques Prioritaire pour cette classe sont la familiarisation des élèves avec les applications Microsoft Office et la mise en évidence des bénéfices de l’utilisation de l’Internet.  L’utilisation de Microsoft Office et de Internet Explorer  permettront aux élèves de mettre en valeur les informations liées à la suite de Fibonacci; Les élèves auront la possibilité d’identifier les chiffres de la suite à l’occasions d’une série d’exemples convaincante. Ressources internet: http://www.mcs.surrey.ac.uk/Personal/R.Knott/Fibonacci/fibnat.html#petals

Habilités et connaissances Les connaissances de mathématiques exigées sont élémentaires, accessibles à un élève de profil littéraire; leur utilisation dans un contexte attrayant, mais bien atypique veut être un argument en faveur des mathématiques, dans le sens que cette science est plutôt le résultat de la pratique que de la passion pour les chiffres. Les compétences, les habilités dans le domaine des TIC (Microsoft Office, Internet Explorer)  sont essentielles dans la formation de tout élève désireux à s’insérer professionnellement au marché du travail. Les connaissances acquises au long de ce cours  contribuent à la formation et au développement des capacités des étudiants de réfléchir sur le monde. La manière de concevoir la démarche didactique encourage les élèves à émettre des opinions appuyées sur différents domaines (mathématiques, sciences naturelles) tout en stimulant l’esprit d’équipe.

Fiche no. 3 –La suite de Fibonacci

La suite de Fibonacci commence par les numéros 0 et 1, et chaque numéro qui suit est la somme des deux numéros qui le précèdent.

0,1,1,2,3,5,8,13,21,………………………………………...................................
Complétez la suite par au moins cinq numéros.

En apparence on a affaire a une suite banale de numéros. Mais cela, seulement en apparence, parce que:

• La suite de Fibonacci  a de multiples propriétés mathématiques, telles:

1. la somme des premiers termes n de la suite a une unité de moins que le terme post - suivant;
2. le produit de doux termes consécutifs de la suite diffère du produit des termes voisins avec +1 ou -1, alternativement;

et encore d’autres propriétés intéressantes, qui dépassent les connaissances de mathématiques d’un élève du profil philologie.

      Verifiez l’une de deux premières propriétés sur des cas particuliers de n!

• La suite de Fibonacci se retrouve fréquemment dans la nature, spécialement dans le règne végétal. Par exemple: 

• L’embranchement et les feuilles des plantes. Si sur une souche cylindrique ou conique naissent des branches ou des feuilles ordonnées en spirale, chaque branche ou feuille est la n-ième (comptée sur la spirale à partir de la branche ou d ela feuille précédente sur la même génératrice), n étant un terme de la fille de Fibonacci. De la même façon, le nom de spires entre deux branches ou deux feuilles successives sur la même génératrice est un autre terme de la suite de Fibonacci. 

• Le disque du tournesol. Les semences sont disposées selon deux séries de courbe:
• une série aux courbures dans le sens des aiguilles de la montre;
• l’autre série dans le sens inverse de la marche des aiguilles de la montre.

Les deux séries ne représentent pourtant pas un numéro égal de courbes, ni deux numéros inégaux au hasard, mais deux termes consécutifs de la suite de Fibonacci : chez les exemplaires jeunes, petits, -13 et 21 ou bien 21 et 34 courbes ; chez les exemplaires moyens, 34 et 55 de courbes ; chez les exemplaires grands, jusqu’à 89 et 144  courbes.
Dans l’image suivante il s’agit d’un exemplaire réel avec 55, respectivement 89 spirales. 

Pour plus d’exemples consultez le site Internet suivant : http://www.mcs.surrey.ac.uk/Personal/R.Knott/Fibonacci/fibnat.html#petals

C’est toujours sur cette page que l’on pourra mieux voir les spirales de sens opposé, mais sur un autre exemple : le con de pin. On a coloré différemment 8 spirales dans le sens des aiguilles de la montre, respectivement 13 spirales dans le sens opposé. 
Certains chercheurs ont essayé d’expliquer la présence de la suite de Fibonacci dans la nature par le fait que celui-ci exprime, en langage arithmétique, la loi de l’addition et de la reproduction, c’est pourquoi on la nomme aussi la loi des croissances organiques. Les biologistes savent toute forme de vie contient et répètent les stades précédents de l’espèce respective sur l’échelle évolutive. Cette vérité est donc incarnée dans une suite de numéros qui représente le processus évolutif et qui commence par 0 et 1, deux numéros clé, le premier symbolisant le néant, le non être, l’autre, l’unité du cosmos, de l’existence.
C’est une confirmation du point de vue de Pithagore, conformément auquel "Tout est placé dans les numéros".

Thème pour l’étude individuel:

1. Choisis un autre exemple sur la page recommandée et présente-le à tes collègues. Négociez les 3 exemples les plus intéressants pour le portefolio du cours.
2. Choisis le premier ou le dernier thème "Things to do" et conçois un atelier pour l’un des cours suivants!

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Applications de la suite de Fibonacci

PROJET DIDACTIQUE
APPLICATIONS DE LA SUITE DE FIBONACCI

CLASSE: XIIe classe
DISCIPLINE: Mathématiques
ENSSEIGNANT: Popa Teodora Eugenia
TYPE DE LECON: systématisation et renforcement des connaissances
BUT: renforcer les compétences de traitement des donnés de type quantitatif, qualificatif, structural ou contextuel contenues dans des énoncés divers
COMPETENCES GENERALES

2. Traitement des donnés de type quantitatif, qualitatif, structural ou contextuel contenues dans des énoncés mathématiques

4. Exprimer et rédiger correctement, soit en langue formelle, soit en langue courante, la solution, ou les stratégies utilisées pour solutionner un problème

COMPETENCES SPECIFIQUES

1. Interpréter certaines propriétés de la suite de Fibonacci et d’autres fonctions  à l’aide des raisonnements mathématiques et de la lecture graphique.
2. Exprimer, à l’aide des notions de la limite, certaines propriétés qualitatives et quantitatives d’une suite de nombres réels

OBJECTIFS OPERATIONNELS

1. COGNITIFS:

1. Réaliser des connexions entre les notions d’algèbre, d’analyse et de géométrie
2. Réaliser le transfère entre les domaines connexes des mathématiques et des sciences naturelles ou des arts
3. Reconnaître le nombre d’or dans de différant expressions mathématiques: forme algébrique, fraction décimale infinie, limite d’une suite de nombres réels
4. Saisir des exemples de la suite de Fibonacci, du nombre d’or et de la proportion d’or dans la nature et dans l’art

2. AFFECTIFS:
2.1. Accepter/rejeter de façon argumentée le caractère applicatif, universel des mathématiques
2.2. Faire preuve, à la fois, d’esprit d’équipe et d’autonomie pour solutionner des taches du groupe/individuelles
3. PSYCHOMOTEURS:
3.1. Manifester de l’initiative et de disponibilité dans la façon d’aborder des taches variées
METHODES ET PROCEDEES: conversation heuristiques, problématisation, exercices, exposé
AUXILIAIRES: fiches, vidéo projecteur, flipchart

• Matériels didactiques: supports scientifique, mini posters, présentation en PowerPoint

ORGANISATION DE L’ACTIVITES DES ELEVES:

• Activité frontale;
• Activité en groupe
• Activité individuelle

TYPES D’EVALUATION:

• Evaluation holistique

CAPACITES D’APPRENTISSAGE :

1. Les apprenants (rythmes d’apprentissage adéquats)

Scenario de la leçon
1. MIZE EN ROUTE

1. Présentation de l’équipe d’évaluation

2. CAPTER L’ATTENTION

1. Remue-méninge – interpréter les posters électroniques

3. COMMUNIQUER LES OBJECTIFS

1. On annonce les objectifs de la leçons

4. ACTUALISES LES ACQUISITIONS ANTERIEURS

1. Les élèves doivent résoudre les thème pour l’étude individuel; on vérifie la manière dont les élèves utilisent dans un nouveau contexte les notions et les techniques de calcule (matrices, déterminants, récurrences, induction mathématique) et valorisent certains aspects de leur devoir.

5. ORIENTATION DE L’APPRENTISSAGE

1. Pour démontrer les points d) et e) du problème de la fiche no 3 (respectivement les propriétés 6) et 11) de la fiche no 1, on utilise les points antérieurs du même problème. Travail avec toute la classe. On discute les solutions alternatives du problème, en mettant en évidence la meilleure variante.
2. Concours  - Puzzle: consigne: réaliser un rectangle à l’aide des 8 carres se trouvant dans l’enveloppe; travail en équipe (maximum 5 élèves); 5 min. Visualiser la solution du puzzle
3. Activité frontale: on va calculer les rapports entre la longueur et la largeur des rectangles formés. On obtient une nouvelle suite dont la limite est „le nombre d’or"
4. On réalise la connexion entre „le rectangle d’or" et la spirale logarithmique. On présente aux élèves sur support électronique des exemples de la présence dans la nature de la suite de Fibonacci et de la spirale logarithmique

6. ASSURER LA RETENTION ET LE TRANSFERE

1. On fait la connexion entre le rectangle d’or et la proportion d’or; illustration- Venus de Milo.
2. Travail en groupes;

Groupe no 1: identifier au moins un rectangle d’or dans le tableau „Joconde"
Groupe no 2: identifier au moins un rectangle d’or sur la façade du Parthénon
Groupe no 3: identifier au moins un rectangle d’or dans „la Cène"
Groupe no 4 et 5: donner un exemple d’une section d’or dans le corps humain
Temps: 5 min. Rapport

1. On présente sur support électronique d’autres exemples existant dans la nature, l’art, le corps humain qui soutiennent l’harmonie des formes en partant de la proportion d’or („la proportion divine")
2. On annonce le devoir
3. Choisis on exemple sur le site recommandé (http://www.mcs.surrey.ac.uk/Personal/R.Knott/Fibonacci/fibnat.html#petals)

et présente-le à tes collègues. Négocier les plus intéressants exemples pour le portfolio „Le nombre d’or".
7. ASSURE LA CONNEXION INVERSE

1. Activité individuelle: fiche 1.

8. EVALUATION DE LA LECON

1. Evaluation holistique

Travail en groupes :

GROUPE NO. 1
Identifiez au moins un rectangle d’or dans la peinture "La Joconde". Temps de travail: 5 minutes.

GROUPE NO. 1
Identifiez au moins un rectangle d’or dans l’image suivante. Temps de travail: 5 minutes.

Fiche no. 4

1. Quelle est la relation de récurrence qui définit la suite de Fibonacci?

 

2. Utilise cette relation pour identifier la liaison entre les numéros du triangle de Pascal et les numéros de la suite de Fibonacci.

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Applications de la suite Fibonacci

La proportion dans l’architecture

La mise en proportion - le corps humain

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Les numéros dans notre vie

Les numéros sont partout. Le réveil en est le premier exemple, on le voit chaque matin, c’est lui qui dérange ton sommeil après une nuit courte. Tu vois l’heure et réalises que tu es déjà en retard au lycée - les cours commencent à 8 heures, voilà un nombre qui terrorise tes qutre années de lycée. L’absence-un nombre, un autre nombre qui indique le fait d’avoir été en retard ou de ne pas avoir été présent à ce cours-là.
Un autre exemple, c’est la note... Elle te fera réfléchir ou non; ou bien elle te fera étudier plus, dans le meilleur des cas. De toute façon, on n’est presque jamais content de ce chiffre. Heureusement on est parfois sauvé par la clochette, mais elle ne peut réagir qu’à certains chiffres, ce qui t’oblige à être un peu plus organisé.

Après les cours, tu arrives à le maison, heureux ou non, et tu te mets devant l’ordinateur, l’instrument qui réclame le plus grand nombre d’heures de ta journée. Ce qui est intéressant, c’est que tout ce que tu y vois et entends, ce ne sont que les mêmes chiffres poussiéreux, bien codés ou non, par ses composantes et programmes. Ahuri après tant d’information et irradiation, tu décides de te détendre en sortant en ville. Tu tends la main, pour trouver quoi? Facile à deviner: le portable, la peste des élèves. Tu appuies sur une touche qui correspond à un numéro. Après avoir composé la combinaison magique, tu attends et finalement tu entends répondre une voix familière. Tu parles pendant cinq minutes, dont tu mets quatre à raconter ce que tu as fait pendant la journée (comme si tu ne l’avais pas vu depuis cinq ans); à la fin de la conversation vous fixez un rendez-vous dans la ville. Mais pour sortir tu as besoin d’argent, une somme d’argent, un nombre. Tu fouilles dans tes poches, mais ... rien. Tu vas voir tes parents, qui essaient de se débarrasser de toi, bien que ce soit le jour de salaire. Commencent les négociations, tu dis une somme, les parents, une autre, comme au marché. Jusqu’à la fin tu obtiens l’argent que tu désires, mais tu dois promettre de ne plus être en retard à l’école, ce qui ne se passeras pas, bien évidemment.

Tu arrives au lieu de rendez-vous et „surprise" – l’ami est de nouveau en retard. Il apparaît enfin, vous allez quelque part, vous vous amusez, les heures passent, tu décides que tu es fatigué. Tu paies et tu t’en vas.

Arrivé chez toi après une journée si fatigante, tu n’as envie d’absolument rien. Tu te mets au lit et te mets à compter les minutes que tu as passées aujourd’hui, depuis que tu t’es réveillé et jusqu’à ce que tu sois allé au lit. Par un sursaut de la conscience tu réalises avoir oublié de rédiger l’essai pour le cours en option et tu te mets à en écrire le titre „Les numéros dans ma vie"; tu t’arrêtes pour réfléchir: Que signifient ces numéros pour moi? Et tu te vois écrire: „Ils signifient tout. Sans eux, nous ne serions pas ceux qui nous sommmes maintenant." Mais qui sommes-nous?...

Essai réalisé par Dedu Eduard, élève, classe: XIIeA, dans le cadre du cours en option "La beauté en tant que proportion et harmonie"

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L’harmonie des formes

L’harmonie représente une certaine symétrie entre deux choses qui se ressemblent, qui ont quelque chose en commun et qui ne sauraient se passer l’une de l’autre.  L’harmonie représente aussi la manière dont les choses fonctionnent, par exemple l’harmonie de l’univers. Celle-ci reflète aussi la manière dont l’univers fonctionne, depuis les planètes et leurs satellites qui se complètent réciproquement, jusqu’au fait que dans notre galaxie la Terre tourne autour du Soleil. Cela crée une harmonie entre le jour et la nuit, sans laquelle toute notion du temps se serait perdue.

Les formes géométriques qu’ont les objets inventés ou confectionnées par l’homme, en rapport avec l’environnement, créent une certaine harmonie. Par exemple, dans un logement, l’homme fait son mobilier à sa taille, il y a donc une harmonie entre l’homme et son mobilier, qui prend des formes différentes, selon les fonctions qu’il remplit

Les formes nous représentent aussi nous-mêmes ; quand nous sommes décrits par les autres, ils disent quelles sont les formes de notre visage, de nos yeux etc. Tout ce qui nous entoure a une forme spécifique : quand on pense à quelque chose, on pense tout de suite à sa forme qui dit tout à son sujet. L’harmonie entre les formes des objets rend certainement notre vie agréable ; si l’on imagine un monde où il n’y ait pas de diversité des formes, alors tout serait insensé, sans différence et fade. L’harmonie des formes et des événements rend le monde magnifique et rassurant.

Essai réalisé dans le cadre du cours "La beauté en tant que proportion et harmonie", par Andreea Dumitrescu, élève, XIIeA

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Le symbolisme des figures géométriques

On ne peut comprendre la structure de l’être humain que si on arrive à connaître la structure de l’univers et on ne peut connaître la structure de l’univers qu’en connaissant la structure de l’être humain.

Par son intelligence, par sensibilité et volonté, l’homme se manifeste en tant qu’esprit, âme et corps physique: c’est la preuve qu’il existe dans trois mondes: divin, spirituel et physique, ou le monde des principes, des lois et des faits. Tout imite et reflète cette réalité des trois mondes.

Le monde des faits est le monde du gaspillage, tandis le monde des principes est celui de l’unité. Pour voir clair, pour agir, pour créer, il faut s’élever par l’intermédiaire de l’esprit, jusque dans l’espace des principes, à des hauteurs où règne l’esprit.

Les grands initiés de l’Egypte ont choisi pour leurs monuments la forme de la pyramide, avec ses lignes qui se rapprochent, jusqu’à ce qu’elles se réunissent au sommet, justement pout nous apprendre à chercher ce point en haut. Beaucoup de gens se sont intéressés à la disposition de ces immenses blocs de pierre, assemblés sans ciment, aux couleurs des salles et aux objets qu’elles abritaient. Ils ont fait des observations sur le placement des entrées par rapport aux points cardinaux ou à certaines constellations et en effet il en a résulté des livres d’une richesse et d’une érudition fantastiques.

Si les initiés ont choisi cette forme de pyramide pour leurs sanctuaires, c’est qu’ils ont voulu que ces lignes, qui se rejoignent au sommet, qui s’élèvent vers le soleil, donnent aux gens une leçon sur l’unité.  La pyramide est un symbole des hiérarchies qui existant dans l’univers. Dans certains domaines, quels qu’ils soient, ce symbole de la pyramide peut nous aider à passer, du plan inférieur, celui de la multiplicité, au plan supérieur de l’unité. Cette vision, de plus en plus transparente, nous donne la possibilité d’agir de façon divine. Il faut donc apprendre à s’orienter selon ces lignes de la pyramides.

Fig. 1

La pyramide est un cube couvert de quatre faces triangulaires. Du point de vue symbolique, le cube est identique au carré, c’est le numéro quatre, le nombre de la matière, des quatre éléments. Le cube représente tout ce qui est solide et durable, enraciné dans la matière. Les monarques sont souvent représentés, tout comme les pharaons égyptiens, assis sur une pierre cubique, symbole de la stabilité de leur règne. Dans le spatial en deux dimensions, le cube forme la croix; les églises chrétiennes, élevées en general en forme de croix, symbolisent justement l’extension de la pierre cubique dans cette forme: l’église doit représenter le triomphe définitif de la religion chrétienne sur terre.

Fig. 2                       Fig.3

En tant que figure géométrique complètement fermée, le cube symbolise la limitation, la prison. C’est pourquoi la croix réalisée par le cube signifie aussi limitation et souffrance. Mais le cube ne représente que la base de la pyramide et cette base soutient quatre triangles. Par rapport au carré, symbole de la matière, le triangle est le symbole de l’esprit, le chiffre des trois principes divins: la lumière, la chaleur, la vie. Le quatre représente le matériel, le trois-le spirituel, tandis que trois et quatre font sept. Sept est le symbole de l’homme parfait, il exprime la totalité de l’être humain: esprit et matière. C’est pourquoi les initiés disent que l’homme est la clé de l’univers. Une clé, c’est quoi? Dans de nombreux dessins initiatiques on peut voir certains personnages porter une clé en forme de croix assise au-dessus d’un triangle. La clé représente le même symbole que la pyramide: trois sur quatre, c’est-à-dire la matière dominée par l’esprit.

Fig. 4

L’esprit est le plus ténace, le plus fidèle, mais il est en movement. La matière est immobile, statique ; cette immobilité est symbolisée par le carré, pendant que le mouvement périodique, cyclique, de l’esprit, est symbolisé par le cercle. Tout le problème consiste en le savoir d’unir le cercle et le carré.

Essai réalisé par Alexandra Dumitru, XIIe A, dans le cadre du cours en option "La beauté en tant que proportion et harmonie"

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1. Le principe du fondement empirique

La consultation et l’analyse des programmes scolaires de la IXe à la XIe (14-17ans, série „lettres"), pour les disciplines mathématiques, biologie et éducation artistique ont constitué le point de départ pour la projection de ce cours. La cosultation des autres ouvrages mentionnés dans la bibliographie a rendu possible le choix des contenus considérés, à la fois, les plus accessibles au groupe cible et susceptibles d’assurer la formation des compétences visées par ce cours.
L’élaboration du cours n’a pas été le résultat d’une recherche des besoins du groupe visé (autrement dit il n’est pas issu d’une analyse rigoureuse des besoins et des désirs du groupe). Il est plutôt le résultat du besoin de développement professionnel de certains enseignants et vise à atteindre certains objectif du projet Comenius.

2. Le principe de l’orientation philosophique

La philosophie de ce cours consiste à démontrer que les mathématiques éduquent le sens de la beauté de la même façon que l’étude de l’art. Le statut culturel des mathématiques est argumenté à partir de la notion de proportion, présente dans tous les domaines de l’art (musique, peinture, sculpture, architecture), aussi bien que dans la nature (dans le règne animal de même que dans le règne végétal).

3. Le principe de l’individualisation

On apprécie que ce cours répond au besoin de formation des élèves aussi bien que des enseignants, tout en offrant un angle différent dans l’approche des mathématiques. La rigueur des mathématiques devient accessible à des non-passionnés, grâce au fait que les activités d’apprentissage sont adaptées à la réceptivité des élèves tout en valorisant l’enseignement non-formel. De plus ses contenus ne dépassent pas les connaissances de mathématiques acquises antérieurement (nombres, corps géométriques, proportions).

4. Le principe du réalisme

Les points de départ dans le déroulement du cours (le corps humain, des élèments de la nature, l’architecture, les arts) sont concrets, juste pour souligner son caratère pratique et applicatif et pour offrir aux élèves un cadre authentique et inédit de manifestation de la disponibilité de réception de l’information scientifique, culturelle et artistique.

5. Le principe de l’équilibre

En tant qu’approche interdisciplinaire, le cours a exigé l’effort commun des enseignants de différentes disciplines: mathématiques, arts, sciences, langues modernes. L’étude de la biographie récomandée a demontré que le cours a dépassé parfois la capacité de compréhension des élèves. L’effort humain n’a pas été récompensé par la base materielle existante dans notre école. Les élèves n’ont bénéficié que des supports didactiques élaborés par les professeurs tandis que pour la réalisation des projets et des expositions photos on a fait appel aux informations offertes par Internet.

6. Le principe de la collaboration

Le cours a été projeté par deux professeurs: un professeur dee mathématiques et un professeur d’éducation plastique. Son implémentation a été réalisée surtout par le pofesseur de mathématiques à laquelle se sont ajoutées les interventions séquentielles du professeur d’éducation plastique (4 thèmes), de celui de biologie (1 thème) et de celui de philosophie (1 thème).

Les élèves n’ont pas participé à la réalisation du cours. Ils ont été consultés au début de l’année sur les épreuves d’évaluation, mais leur avis n’était pas documenté.

Les membres de l’équipe du projet ont été les seuls consultés.

7. Le principe de l’évaluation

Pour évaluer le cours on a passé des questionnaires aux élèves du groupe cible. On a réalisé aussi une autoévaluation: l’équipe du projet a saisi les points forts et les points faibles du cours

On apprécie que le nombre des élèves qui en ont bénéficié a été trop petit pour pouvoir tirer une conclusion quant à la nécessité du cours et l’intérêt des élèves pour le cours. On considère que le cours aurait dû être suivi par des élèves appartenant à des séries différentes – séries lettres et séries scientifiques, et peut-être par des générations différentes, pour avoir une véritable évaluation

Le rapport d’auto-évaluation présenté à l’équipe du projet a été bien synthétique, pour être accessible à tous les membres de l’équipe qui recouvrent des disciplines differentes.

8. Le principe de l’assurance

L’implémentation du cours a requis des efforts soutenus aussi bien pour réaliser la documentation que pour rendre accessible les contenus (pour le groupe cible). Le manque des auxiliaires didactiques ont réclamé l’emploi des fiches de travail, des présentations Power-Point qui ont nécessité un investissement important de temps pour la documentation et l’élaboration. Pour le générations suivants, il existe maintenant une base susceptible d’être adaptée et valorisée.

9. Le principe du bien-fondé

Etant conçu dans un certain contexte (ce projet de cooperation européenne), le cours a été projeté pour une année d’étude et a été appliqué à un seule génération. Même si on a identifié certains aspects qui auraient dû être améliorés ou même changés, on n’a pas pu les vérifier par la reprise du cours pour une autre génération. On a l’intention d’éliminer cet inconvénient au cours de l’année prochaine.

De plus, au cours de la deuxième année d’implémentation, la gestion du temps sera améliorée  par l’utilisation des matériels didactiques réalisés au cours de la première année.

10. Le principe de la gestion du changement

Le cours a contribué à la diversification de l’offre faite par le curiculum des écoles impliquées dans ce projet, et a été reçu comme une nouveauté bien innovatrice

On apprécie que cette manière d’aborder les mathèmatiques est à même de faire changer l’attitude à l’égard d’une discipline qui semble aride, abstraite et souvent inutile (ces dernieres années les sujets de maths pour le bac contribuent à un rejet de cette discipline de la part des élèves).

Bibliographie

Ion Negreţ-Dobridor - Teoria generală curriculumului educaţional, Editura Polirom, Bucureşti, 2008

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